Условие
В треугольнике ABC угол A равен 20°, угол B равен 25°, а радиус описанной около него окружности равен 4√2. Найдите сторону AB.
Подсказка
Какой угол треугольника лежит напротив стороны AB? Найдите его.
Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Находим угол, противолежащий стороне AB
Сторона AB лежит напротив угла C. По сумме углов треугольника угол C=180°−20°−25°=135°. Угол тупой — центр окружности лежит вне треугольника, но теорема синусов от этого не меняется.
- Находим синус тупого угла
Синусы смежных углов равны: sin 135°=sin(180°−135°)=sin 45°=√2/2.
- Применяем расширенную теорему синусов
Сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: AB/sin C=2R. Отсюда AB=2R·sin C=2·4√2·(√2/2)=4·2=8.
- Проверяем через центральный угол
Вписанный угол C=135° опирается на дугу AB, не содержащую C, поэтому она равна 270°, а меньшая дуга AB равна 360°−270°=90°. Значит, центральный угол AOB=90°, треугольник AOB прямоугольный равнобедренный с катетами R=4√2, и AB=√(R²+R²)=√(32+32)=8 — совпало.
Ответ: 8