Условие
Правильный двенадцатиугольник вписан в окружность радиуса 7. Найдите площадь двенадцатиугольника.
Подсказка
Соедините центр со всеми вершинами: на сколько равных треугольников разобьётся многоугольник?
Площадь треугольника можно найти по двум сторонам и синусу угла между ними.
Показать ответ
147
Пошаговое решение
- Разбиваем многоугольник на треугольники
Соединим центр O окружности со всеми вершинами. Получится 12 равных равнобедренных треугольников: боковые стороны каждого — радиусы, равные 7, основания — стороны двенадцатиугольника.
- Находим угол при центре
Вершины правильного многоугольника делят окружность на 12 равных дуг, поэтому центральный угол каждого треугольника равен 360°:12=30°.
- Находим площадь одного треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S=½·7·7·sin 30°=½·49·½=12,25.
- Находим площадь двенадцатиугольника
S=12·12,25=147. Заметим, что получилось 3R²=3·49=147: площадь правильного двенадцатиугольника чуть меньше площади круга πR²≈153,86, как и должно быть.
Ответ: 147