Условие
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD=18 и BC=8 вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Подсказка
Какое условие на стороны нужно, чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность?
Окружность касается двух параллельных оснований: как связаны её диаметр и высота трапеции?
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим боковую сторону
В четырёхугольник можно вписать окружность, только если суммы его противоположных сторон равны: AB+CD=AD+BC=18+8=26. Трапеция равнобедренная, AB=CD, поэтому AB=26:2=13.
- Опускаем высоту
Опустим высоту BH на AD. В равнобедренной трапеции отрезок AH равен полуразности оснований: AH=(18−8):2=5.
- Находим высоту по теореме Пифагора
Из прямоугольного треугольника ABH: BH²=AB²−AH²=13²−5²=169−25=144, BH=12.
- Связываем высоту и радиус
Окружность касается обоих оснований, а они параллельны. Поэтому расстояние между основаниями — высота — равно диаметру: 2r=12, r=6. Ошибка — принять за радиус саму высоту.
Ответ: 6