Условие
Через точки A и B окружности с центром O проведены касательные, которые пересекаются в точке P. Точка C лежит на большей дуге AB этой окружности, угол ACB равен 52°. Найдите угол APB. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Найдите центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, что и угол ACB.
Какой угол образует касательная с радиусом, проведённым в точку касания?
Показать ответ
76
Пошаговое решение
- Находим центральный угол AOB
Вписанный угол ACB опирается на меньшую дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу и вдвое больше вписанного: угол AOB=2·52°=104°.
- Используем перпендикулярность радиуса и касательной
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: угол OAP=90° и угол OBP=90°.
- Складываем углы четырёхугольника OAPB
Сумма углов четырёхугольника равна 360°: угол APB=360°−90°−90°−104°=76°.
- Проверяем через угол между касательной и хордой
Угол PAB между касательной PA и хордой AB равен вписанному углу ACB=52°; так же угол PBA=52°. Тогда в треугольнике APB угол APB=180°−2·52°=76° — совпало. Ошибка — считать угол APB равным центральному углу 104°: они в сумме дают 180°.
Ответ: 76