Условие
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Известно, что AE=5, EB=8, CD=14, причём отрезок CE короче отрезка ED. Найдите CE.
Подсказка
Как связаны отрезки двух пересекающихся хорд?
Обозначьте CE через x, тогда ED=14−x.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойство пересекающихся хорд
Если две хорды пересекаются, то произведения отрезков каждой хорды равны: AE·EB=CE·ED. Это следует из подобия треугольников AEC и DEB (вписанные углы CAB и CDB опираются на одну дугу, а углы при вершине E вертикальные).
- Находим произведение отрезков второй хорды
AE·EB=5·8=40, поэтому CE·ED=40.
- Составляем уравнение
Пусть CE=x, тогда ED=14−x, ведь E лежит на хорде CD. Получаем x·(14−x)=40, то есть x²−14x+40=0.
- Решаем уравнение и выбираем корень
Дискриминант: 14²−4·40=196−160=36=6². Корни: x=(14−6):2=4 и x=(14+6):2=10. Это и есть два отрезка хорды: 4 и 10. По условию CE короче, значит, CE=4.
- Проверяем
4+10=14=CD и 4·10=40=5·8 — оба условия выполнены. Ошибка — ответить 10: это длина ED, более длинного отрезка.
Ответ: 4