Условие
Хорды AB и CD окружности параллельны, AB=48, CD=14, а центр окружности лежит между прямыми AB и CD. Расстояние между хордами равно 31. Найдите радиус окружности.
Подсказка
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.
Обозначьте расстояние от центра до одной хорды через x и запишите R² двумя способами.
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- Проводим перпендикуляр через центр
Проведём через центр O прямую, перпендикулярную хордам. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: половина AB равна 48:2=24, половина CD равна 14:2=7. Расстояния от центра до хорд в сумме дают расстояние между хордами 31: пусть до AB — x, тогда до CD — 31−x.
- Записываем радиус двумя способами
Радиусы OA и OC — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами «половина хорды» и «расстояние до хорды». По теореме Пифагора R²=24²+x² и R²=7²+(31−x)².
- Решаем уравнение
576+x²=49+961−62x+x². Квадраты x² сокращаются: 62x=49+961−576=434, x=7. Расстояние до CD равно 31−7=24.
- Находим радиус
R²=24²+7²=576+49=625, R=25. Проверка через вторую хорду: 7²+24²=49+576=625 — тот же R². Длинная хорда ближе к центру, как и должно быть.
Ответ: 25