Условие
Через точку P, лежащую вне окружности, проведены две секущие: одна пересекает окружность в точках A и B, другая — в точках C и D, причём A лежит между P и B, а C — между P и D. Угол BAD равен 62°, угол ADC равен 19°. Найдите угол BPD. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Проведите хорду AD и рассмотрите треугольник APD.
Угол BAD — внешний угол треугольника APD.
Показать ответ
43
Пошаговое решение
- Рассматриваем треугольник APD
Проведём хорду AD. Получился треугольник APD: его вершина P — искомый угол, а при вершине D стоит угол ADP. Точка C лежит на отрезке PD, поэтому угол ADP=угол ADC=19°.
- Замечаем внешний угол
Точки P, A, B лежат на одной прямой, причём A между P и B. Значит, угол BAD=62° — внешний угол треугольника APD при вершине A.
- Применяем теорему о внешнем угле
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: угол BAD=угол APD+угол ADP. Отсюда угол BPD=угол APD=62°−19°=43°.
- Проверяем через дуги
Угол BAD — вписанный, он опирается на дугу BD, значит, дуга BD=2·62°=124°. Угол ADC опирается на дугу AC: она равна 2·19°=38°. Угол между секущими равен полуразности дальней и ближней дуг: (124°−38°):2=43° — совпало. Ошибка — сложить углы: так считают угол между хордами, пересекающимися внутри круга.
Ответ: 43