Условие
Стороны треугольника ABC равны AB=10, AC=17, BC=21. Найдите высоту AH, проведённую к стороне BC.
Подсказка
Обозначьте BH через x и выразите HC через x.
Запишите квадрат высоты из двух прямоугольных треугольников и приравняйте.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Вводим неизвестную
Высота AH делит треугольник на два прямоугольных: ABH и ACH. Пусть BH=x, тогда HC=21−x. Тупым может быть только угол против самой длинной стороны BC=21, то есть угол A, поэтому углы B и C острые и основание высоты H лежит на отрезке BC.
- Выражаем AH² двумя способами
По теореме Пифагора из треугольника ABH: AH²=10²−x²=100−x². Из треугольника ACH: AH²=17²−(21−x)²=289−(21−x)².
- Приравниваем и решаем
100−x²=289−(441−42x+x²). После раскрытия скобок x² сокращается: 100=289−441+42x, 42x=100−289+441=252, x=6. Значит, BH=6, HC=15.
- Находим высоту
AH²=10²−6²=100−36=64, AH=8. Проверка через треугольник ACH: 15²+8²=225+64=289=17².
Ответ: 8