Условие
Основания трапеции ABCD равны BC=4 и AD=12. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника BOC равна 5. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Треугольники BOC и AOD подобны — найдите коэффициент подобия по основаниям.
Треугольники с общей высотой относятся как их основания.
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Находим подобные треугольники
BC ∥ AD, поэтому угол OBC = угол ODA и угол OCB = угол OAD (накрест лежащие). Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом k=AD/BC=12/4=3. Отсюда же AO:OC=DO:OB=3:1.
- Площадь треугольника AOD
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S(AOD)=5·3²=5·9=45.
- Площади боковых треугольников
Треугольники AOB и COB имеют общую высоту из вершины B к прямой AC, поэтому их площади относятся как основания AO:OC=3:1. S(AOB)=5·3=15. Точно так же у треугольников COD и COB общая высота из вершины C к прямой BD, а OD:OB=3:1, поэтому S(COD)=15.
- Складываем четыре части
S=S(BOC)+S(AOB)+S(COD)+S(AOD)=5+15+15+45=80.
- Проверяем через высоту
Высота треугольника BOC к BC равна 2S/BC=(2·5)/4=2,5, это 1/4 высоты трапеции (O делит её в отношении 1:3). Высота трапеции 2,5·4=10, S=(4+12)/2·10=80.
Ответ: 80