Условие
Часы со стрелками показывают ровно 1 час. Через сколько минут после этого минутная стрелка в четвёртый раз окажется перпендикулярной часовой?
Подсказка
С какой скоростью (в градусах в минуту) минутная стрелка догоняет часовую?
Прямой угол между стрелками повторяется каждый раз, когда опережение увеличивается на 180°.
Показать ответ
120
Пошаговое решение
- Находим скорости стрелок
Минутная стрелка проходит 360° за 60 мин — 6° в минуту. Часовая проходит 360° за 12 ч = 720 мин — 0,5° в минуту. Значит, минутная догоняет часовую со скоростью 6 − 0,5 = 5,5° в минуту.
- Смотрим на начальное положение
В 1:00 минутная стрелка на 12, часовая — на 1, то есть часовая впереди на 30°. Опережение минутной стрелки через t минут равно 5,5t − 30 (градусов).
- Перечисляем моменты перпендикулярности
Стрелки перпендикулярны, когда опережение равно 90°, 270°, 450°, 630°, … (каждые 180° — новый прямой угол). В первый раз: 5,5t − 30 = 90, во второй — 270, в третий — 450, в четвёртый — 630.
- Находим четвёртый момент
5,5t = 630 + 30 = 660, t = 660 : 5,5 = 120 мин (это ровно 3:00 — известное положение с прямым углом). Типичная ошибка — забыть, что часовая стрелка тоже движется, и считать минутную со скоростью 6° в минуту: из 6t = 660 вышло бы 110 мин; другая — считать прямые углы каждые 360°, а не каждые 180°.
Ответ: 120