Условие
Петя поднимается по эскалатору, который движется вверх, и шагает по ступенькам. Когда он шёл с постоянной скоростью, он насчитал 42 ступеньки, а когда он шёл с вдвое большей скоростью (относительно ступенек), он насчитал 56 ступенек. Сколько ступенек видно на неподвижном эскалаторе?
Подсказка
Петя насчитывает только те ступеньки, на которые наступил, — остальную часть пути его везёт эскалатор.
Удобно ввести неизвестное — отношение скорости эскалатора к скорости Пети.
Показать ответ
84
Пошаговое решение
- Понимаем, что считает Петя
Пусть на эскалаторе видно N ступенек, Петя шагает со скоростью p ступенек в секунду, а эскалатор движется со скоростью e ступенек в секунду. Петя поднимается со скоростью p + e и тратит N/(p + e) с, а насчитывает только те ступеньки, на которые наступил: pN/(p + e).
- Составляем уравнения
pN/(p + e) = 42 и 2pN/(2p + e) = 56. Обозначим r = e/p и поделим числитель и знаменатель на p: N/(1 + r) = 42, 2N/(2 + r) = 56.
- Решаем систему
N = 42(1 + r) и N = 56(2 + r)/2 = 28(2 + r). Приравниваем: 42 + 42r = 56 + 28r, 14r = 14, r = 1.
- Находим число ступенек
N = 42·(1 + 1) = 84. Проверка: при вдвое большей скорости 2·84 : (2 + 1) = 56. Типичная ошибка — решить, что эскалатор имеет 42 или 56 ступенек: Петя насчитывает меньше ступенек, чем видно, потому что часть пути его везёт эскалатор.
Ответ: 84