Условие
В ёмкости 80 кг водного раствора с содержанием спирта 80% по массе. Из неё отлили некоторое количество однородного раствора и добавили столько же воды. После перемешивания операцию повторили, отлив ту же массу раствора. Содержание спирта стало 5%. Сколько килограммов отливали каждый раз?
Подсказка
Если отливают x кг, после одной операции остаётся доля 1−x/80 прежней массы спирта.
После двух одинаковых замен концентрация равна 80(1−x/80)² процентов.
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Баланс вещества
Количество растворённого вещества равно общей массе раствора, умноженной на долю вещества p/100. При смешивании складываются массы растворов и массы вещества. При добавлении чистой воды масса вещества остаётся прежней.
- Намечаем ход решения
Если отливают x кг, после одной операции остаётся доля 1−x/80 прежней массы спирта. После двух одинаковых замен концентрация равна 80(1−x/80)² процентов.
- Вводим обозначения
Пусть каждый раз отливают x кг, 0≤x≤80. Вода не добавляет спирта, а общая масса остаётся 80 кг.
- Выполняем преобразование
После каждой операции масса спирта умножается на 1−x/80. Поэтому 80(1−x/80)²=5.
- Выполняем преобразование
Доля 1−x/80 неотрицательна; выбираем положительный квадратный корень: 1−x/80=0,25. Отсюда x=60 кг.
Ответ: 60