Условие
Двое рабочих выполнили заказ так: сначала первый рабочий один сделал половину заказа, затем второй один сделал оставшуюся половину. На весь заказ ушло 12,5 часа. Если бы рабочие работали вместе, заказ был бы выполнен за 6 часов. За сколько часов выполнит весь заказ первый рабочий, если известно, что он работает медленнее второго?
Подсказка
Обозначьте время каждого рабочего на весь заказ. Сколько времени каждый тратит на половину?
Из двух условий получаются сумма и произведение неизвестных — вспомните теорему Виета.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Записываем первое условие
Пусть x и y — время (в часах), за которое весь заказ выполняет в одиночку первый и второй рабочий. Половину заказа первый делает за x/2 ч, второй — за y/2 ч. Значит, x/2 + y/2 = 12,5, то есть x + y = 25.
- Записываем второе условие
За час вместе они делают 1/x + 1/y заказа, а это 1/6. Приводим к общему знаменателю: (x + y)/(xy) = 1/6, откуда xy = 6(x + y) = 6·25 = 150.
- Решаем систему через теорему Виета
Известны сумма 25 и произведение 150, поэтому x и y — корни уравнения t² − 25t + 150 = 0. Дискриминант 625 − 600 = 25, t = (25 + 5)/2 = 15 и t = (25 − 5)/2 = 10.
- Выбираем нужное число
Медленнее тот, кому нужно больше времени, поэтому первый тратит 15 ч, второй — 10 ч. Проверка: 7,5 + 5 = 12,5 ч; 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 1/6. Типичная ошибка — ответить 10: это время более быстрого второго рабочего.
Ответ: 15