Условие
Кран наполняет пустой бак водой. В дне бака есть трещина, через которую вода вытекает равномерно: при закрытом кране полный бак опустел бы через 200 минут. Из-за трещины бак наполняется на 10 минут дольше, чем наполнялся бы без неё. За сколько минут кран наполняет бак, если трещины нет?
Подсказка
Какую долю бака за минуту отнимает трещина? Как она меняет скорость наполнения?
После упрощения уравнение сводится к виду x(x + 10) = число — подберите положительный корень.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Вводим неизвестное и производительности
Пусть без трещины кран наполняет бак за x мин, то есть за минуту 1/x бака. Трещина за минуту выпускает 1/200 бака. С трещиной бак прибавляет 1/x − 1/200 бака за минуту и наполняется за x + 10 мин: 1/x − 1/200 = 1/(x + 10).
- Упрощаем уравнение
Переносим: 1/x − 1/(x + 10) = 1/200. Левая часть равна (x + 10 − x)/(x(x + 10)) = 10/(x(x + 10)). Значит, x(x + 10) = 10·200 = 2000.
- Решаем квадратное уравнение
x² + 10x − 2000 = 0. Дискриминант 100 + 8000 = 8100 = 90², корни x = (−10 + 90)/2 = 40 и x = (−10 − 90)/2 = −50. Время положительно: x = 40.
- Проверяем
1/40 − 1/200 = 5/200 − 1/200 = 4/200 = 1/50: с трещиной бак наполняется за 50 мин — на 10 мин дольше. Типичная ошибка — сложить производительности крана и трещины: трещина не помогает наполнению, её производительность вычитается.
Ответ: 40