Условие
На рисунке изображены гипербола y=f(x), где f(x)=k/x, и график функции g(x)=a|x+b|+c. Графики имеют ровно две общие точки: вершину A графика g и точку B, которая на рисунок не попала. Найдите абсциссу точки B.
Подсказка
По вершине A найдите и k, и числа b, c; по ещё одному узлу — a.
Уравнение с модулем решайте отдельно на каждой ветви «уголка» и проверяйте, попадает ли корень на свою ветвь.
Один из корней совпадёт с уже известной точкой A.
Показать ответ
0,5
Пошаговое решение
- Восстанавливаем обе функции
Вершина A=(4; 1) лежит на гиперболе: k=4·1=4 (проверка по узлу (1; 4): 4/1=4). Вершина g даёт b=−4, c=1; узел (6; 5): a·2+1=5, a=2. Итак, f(x)=4/x, g(x)=2|x−4|+1.
- Где искать точку B
При x<0 гипербола ниже оси Ox, а g(x)>0, так что общих точек там нет. При x≥4 модуль раскрывается как x−4, при 0<x<4 — как 4−x. Уравнение f(x)=g(x) решаем на каждой ветви отдельно.
- Левая ветвь: 0<x<4
2(4−x)+1=4/x, то есть 9−2x=4/x. Умножаем на x: 2x²−9x+4=0, D=49, x=(9±7)/4, то есть x=0,5 или x=4.
- Правая ветвь и ответ
2(x−4)+1=4/x даёт 2x²−7x−4=0 с корнями x=4 (точка A) и x=−0,5 — он не удовлетворяет условию x≥4. Значит, B имеет абсциссу 0,5 (ордината 8 — выше рисунка), а корень 4 — снова точка A. Типичная ошибка — решить только уравнение правой ветви и не найти B.
Ответ: 0,5