Условие
График функции f(x)=ax²+bx+c изображён на рисунке; вершина параболы не попадает в узел сетки. Найдите наименьшее значение функции f(x).
Подсказка
Найдите на параболе два узла с одинаковой ординатой: ось симметрии проходит ровно посередине между ними.
Запишите f(x)=a(x−x₀)²+y₀ и найдите a и y₀ по двум узлам.
Показать ответ
-2,125
Пошаговое решение
- Находим ось симметрии по двум узлам на одной высоте
Узлы (−3; −1) и (0; −1) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату, значит, они симметричны относительно оси параболы. Ось проходит посередине: x₀=(−3+0) : 2=−1,5. Поэтому f(x)=a(x+1,5)²+y₀.
- Находим a и y₀
Из узла (0; −1): −1=a·2,25+y₀. Из узла (1; 1): 1=a·6,25+y₀. Вычитаем: 2=a·(6,25−2,25)=4a, a=0,5.
- Вычисляем вершину
y₀=−1−0,5·2,25=−1−1,125=−2,125. Ветви направлены вверх (a>0), поэтому наименьшее значение функции равно ординате вершины. В общем виде f(x)=0,5x²+1,5x−1, и x₀=−b/(2a)=−1,5 — совпадает.
- Типичная ошибка
Самые низкие узлы на рисунке — (−2; −2) и (−1; −2), но вершина лежит между ними и ниже: ответ −2 неверен, парабола опускается ещё на 0,125.
Ответ: -2,125