Условие
На рисунке изображён график функции f(x)=ax²+bx+c. Прямая y=−x+m касается графика функции f. Найдите m.
Подсказка
Восстановите параболу через вершину и ещё один отмеченный узел.
Касание означает, что уравнение f(x)=−x+m имеет ровно один корень: его дискриминант равен нулю.
Показать ответ
4,5
Пошаговое решение
- Восстанавливаем параболу
Вершина параболы — узел (1; 3), поэтому f(x)=a(x−1)²+3. Через отмеченный узел (3; 1): 1=a·(3−1)²+3, 4a=−2, a=−0,5. Раскрываем скобки: f(x)=−0,5x²+x+2,5.
- Записываем условие касания
Прямая касается параболы, если у них ровно одна общая точка, то есть уравнение f(x)=−x+m имеет ровно один корень: −0,5x²+x+2,5=−x+m. Переносим всё в одну часть и умножаем на (−2): x²−4x−5+2m=0.
- Приравниваем дискриминант к нулю
D=(−4)²−4·(−5+2m)=36−8m. Из D=0: 8m=36, m=36 : 8=4,5.
- Проверка и типичная ошибка
При m=4,5 уравнение становится (x−2)²=0, точка касания x=2, f(2)=2,5 и −2+4,5=2,5. То же через производную: f′(x)=−x+1 равно −1 при x=2. Ответ 2,5 неверен — это ордината точки касания, а не m.
Ответ: 4,5