Условие
На клетчатом рисунке построен график функции f(x)=log_a(x+b); пунктир — его вертикальная асимптота. Отмеченные точки графика лежат в узлах сетки. Найдите f(29).
Подсказка
Запишите каждое равенство log_a(…)=n в виде степени: a^n=….
Выразите a через b из первого равенства и подставьте во второе; проверьте, годится ли основание.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Записываем условия по двум точкам
Отмеченные точки — (−1; 1) и (1; 2). Из определения логарифма: log_a(−1+b)=1 означает a=b−1, а log_a(1+b)=2 означает a²=b+1.
- Сводим к квадратному уравнению
Подставляем a=b−1: (b−1)²=b+1, b²−2b+1=b+1, b²−3b=0, откуда b=0 или b=3.
- Отбираем корень
При b=0 основание a=−1 — отрицательное, такого логарифма нет. Остаётся b=3, a=2: f(x)=log₂(x+3). Проверка: асимптота x=−3 совпадает с пунктиром, f(−2)=log₂1=0 — график пересекает ось Ox в точке (−2; 0).
- Вычисляем значение
f(29)=log₂(29+3)=log₂32=5, потому что 2⁵=32. Частая ошибка — взять b=−3 (сдвиг «в сторону асимптоты») и считать log₂26, который не является целым числом.
Ответ: 5