Условие
На рисунке изображён график функции f(x)=a·cos(πx)+b. Отмечены точки графика, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения; они лежат в узлах сетки. Найдите f(25/3).
Подсказка
Чему равны cos0 и cosπ? Подставьте абсциссы отмеченных точек.
Отбросьте от аргумента 25π/3 целое число полных оборотов 2π.
Показать ответ
0,5
Пошаговое решение
- Составляем систему по отмеченным точкам
Отмечены точки (0; 2) и (1; −4). Так как cos0=1 и cosπ=−1, получаем a+b=2 и −a+b=−4.
- Решаем систему
Складываем: 2b=−2, b=−1; вычитаем: 2a=6, a=3. Итак, f(x)=3·cos(πx)−1; наибольшее значение 3−1=2, наименьшее −3−1=−4 — как на рисунке.
- Упрощаем аргумент
Период функции cos(πx) равен 2, поэтому 25/3=8+1/3 можно заменить на 1/3: cos(25π/3)=cos(8π+π/3)=cos(π/3)=1/2.
- Вычисляем значение
f(25/3)=3·(1/2)−1=0,5. Если перепутать знак косинуса и взять −1/2, получится −2,5.
Ответ: 0,5