Условие
На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^(x+b), где a>0, a≠1, а b — некоторое число. Жирными точками отмечены две точки графика с целыми координатами. Найдите f(−4).
Подсказка
При каком показателе степень любого допустимого основания равна 1?
Когда b найдено, вторая отмеченная точка даёт уравнение только на a.
Показать ответ
32
Пошаговое решение
- Составляем уравнения по отмеченным точкам
По клеткам отмеченные точки — (1; 1) и (−1; 4). Подставляем их в формулу: a^(1+b)=1 и a^(−1+b)=4.
- Находим b из точки с ординатой 1
Степень положительного числа a≠1 равна 1 только при нулевом показателе: 1+b=0, значит, b=−1. Формула принимает вид f(x)=a^(x−1).
- Находим основание a
Из второй точки: a^(−1−1)=a^(−2)=4, то есть 1/a²=4, a²=1/4 и a=1/2 (основание положительно). Итак, f(x)=(1/2)^(x−1)=2^(1−x). Проверка по рисунку: f(0)=2 — график действительно проходит через (0; 2).
- Вычисляем значение
f(−4)=2^(1−(−4))=2^5=32. Точка (−4; 32) далеко за верхним краем рисунка, поэтому значение нужно считать по формуле. Если ошибиться в знаке и взять b=1, получится (1/2)^(−3)=8 — неверно.
Ответ: 32