Условие
На рисунке изображён график функции f(x)=a^x+c; пунктиром показана горизонтальная асимптота графика. При каком значении x функция принимает значение 61?
Подсказка
Чему равно a⁰? Подставьте x=0 и сравните с точкой пересечения графика с осью Oy.
Пунктирная асимптота показывает, к какому значению приближается f(x) при x→−∞.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим c по точке на оси Oy
При x=0 любая степень a⁰=1, поэтому f(0)=1+c. По рисунку график пересекает ось Oy в точке (0; −2): 1+c=−2, c=−3. Это согласуется с асимптотой y=−3: при x→−∞ слагаемое a^x стремится к нулю.
- Находим основание a
Вторая отмеченная точка (2; 1): a²−3=1, a²=4, a=2 (основание положительно). Итак, f(x)=2^x−3.
- Решаем показательное уравнение
2^x−3=61, 2^x=64=2^6. Показательная функция с основанием 2 монотонна, поэтому показатели равны: x=6.
- Проверяем и разбираем ошибку
f(6)=64−3=61 — верно. Если забыть про сдвиг c и решать 2^x=61, целого ответа не получится; если принять c=−2 (ординату точки на оси Oy), выйдет 2^x=63 — тоже неверно.
Ответ: 6