Условие
Найдите наибольшее значение функции y = 8cos x + 4√3·x − (4√3π)/3 + 6 на отрезке [0; π/2].
Подсказка
Приравняйте производную к нулю и найдите sin x.
Подставляя найденную точку, проследите, как сокращаются слагаемые с π.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Находим производную
(8cos x)′ = −8sin x, (4√3·x)′ = 4√3, слагаемое −(4√3π)/3 + 6 — число. Получаем y′ = −8sin x + 4√3.
- Ищем стационарные точки
−8sin x + 4√3 = 0, откуда sin x = (4√3)/8 = √3/2. На отрезке [0; π/2] это x = π/3.
- Проверяем, что это максимум
При x < π/3 синус меньше √3/2, значит 8sin x < 4√3 и y′ > 0 — функция возрастает. При x > π/3 синус больше √3/2 и y′ < 0 — функция убывает. Значит, x = π/3 — точка максимума, и наибольшее значение на отрезке достигается именно в ней.
- Вычисляем y(π/3)
cos(π/3) = 1/2, поэтому 8·(1/2) = 4. Слагаемые с π: 4√3·(π/3) − (4√3π)/3 = 0 — они сокращаются. Итого y(π/3) = 4 + 6 = 10.
- Типичная ошибка
Перепутать табличные значения и взять cos(π/3) = 1: получится 8 + 6 = 14. Также неверно считать значения на концах: там остаются слагаемые с π и √3.
Ответ: 10