ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

x·ln x — произведение, используйте правило (uv)′ = u′v + uv′.

После упрощения производная очень короткая — найдите, где она меняет знак.

1. Находим производную произведения x·ln x

   (x·ln x)′ = (x)′·ln x + x·(ln x)′ = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.

2. Собираем производную всей функции

   y′ = ln x + 1 − 1 = ln x. Слагаемое +1 от произведения сократилось с производной −x, а константа 4 даёт ноль.

3. Исследуем знак

   ln x = 0 при x = 1, и эта точка лежит на отрезке [0,5; 4]. При x < 1 ln x < 0 (функция убывает), при x > 1 ln x > 0 (возрастает). Значит, x = 1 — точка минимума, в ней наименьшее значение на отрезке.

4. Вычисляем

   y(1) = 1·ln 1 − 1 + 4 = 0 − 1 + 4 = 3. Типичная ошибка — продифференцировать x·ln x как ln x (без второго слагаемого): тогда y′ = ln x − 1, точка x = e и значение e − e + 4 = 4.

Ответ: 3