Условие
Найдите наименьшее значение функции y = (ln x)² − 4·ln x + 7.
Подсказка
Производная (ln x)² находится по правилу сложной функции.
Удобно обозначить ln x = t: функция становится квадратным трёхчленом от t.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем область определения
ln x определён при x > 0; на этом промежутке и ищем наименьшее значение.
- Находим производную
((ln x)²)′ = 2·ln x·(1/x) — производная квадрата, умноженная на производную ln x. Поэтому y′ = 2·ln x·(1/x) − 4·(1/x) = (2·ln x − 4)/x.
- Исследуем знак производной
При x > 0 знаменатель положителен, знак y′ задаёт числитель 2·ln x − 4. Он равен нулю при ln x = 2, то есть x = e²; при меньших x он отрицателен, при больших — положителен. Значит, x = e² — точка минимума и наименьшее значение достигается в ней.
- Вычисляем значение
В этой точке ln x = 2, поэтому y = 2² − 4·2 + 7 = 4 − 8 + 7 = 3. Само число e² подставлять не нужно. Ошибка — записать в ответ точку минимума e², хотя спрашивают значение функции; другая — забыть множитель 1/x в производной (ln x)².
Ответ: 3