ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².

Вынесите в числителе общий множитель с экспонентой; знаменатель (x − 3)² положителен.

1. Смотрим на промежуток

   Функция не определена при x = 3. На промежутке (3; +∞) знаменатель x − 3 положителен, здесь функция определена и дифференцируема.

2. Находим производную частного

   (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², где u = 5e^(x − 4), u′ = 5e^(x − 4), v = x − 3, v′ = 1. Получаем y′ = (5e^(x − 4)·(x − 3) − 5e^(x − 4)·1)/(x − 3)² = (5e^(x − 4)·(x − 4))/(x − 3)².

3. Определяем знак производной

   Множители 5e^(x − 4) и (x − 3)² положительны, поэтому знак y′ совпадает со знаком x − 4. На (3; 4) y′ < 0 (функция убывает), при x > 4 y′ > 0 (возрастает). Значит, x = 4 — единственная точка экстремума на промежутке, это точка минимума, и в ней достигается наименьшее значение.

4. Вычисляем значение

   y(4) = 5e^(4 − 4)/(4 − 3) = 5·e^0 : 1 = 5. Типичные ошибки — записать в ответ точку минимума 4 или поставить в числителе производной «+» вместо «−»: тогда получится множитель x − 2 с корнем 2 вне промежутка, и минимум «пропадёт».

Ответ: 5