Условие
Функция y = 2^x + 2^(2 − x) определена на всей числовой прямой. Какое наименьшее значение она принимает?
Подсказка
Производная a^u равна a^u·ln a·u′; у второго слагаемого u′ = −1.
Производная равна нулю, когда два слагаемых равны между собой.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Находим производную
(2^x)′ = 2^x·ln 2, (2^(2 − x))′ = 2^(2 − x)·ln 2·(−1). Поэтому y′ = ln 2·(2^x − 2^(2 − x)).
- Решаем y′ = 0
2^x = 2^(2 − x), показатели равны: x = 2 − x, откуда x = 1.
- Определяем, что это минимум
При x < 1 показатель x меньше, чем 2 − x, поэтому 2^x < 2^(2 − x) и y′ < 0; при x > 1 наоборот y′ > 0. Функция убывает, затем возрастает, x = 1 — единственная точка минимума, значит, наименьшее значение достигается в ней.
- Вычисляем значение
y(1) = 2^1 + 2^1 = 2 + 2 = 4. Типичная ошибка — подставить «удобное» x = 0 и получить 1 + 4 = 5: это значение больше найденного.
Ответ: 4