ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Замените 1/cos²x на 1 + tg²x и посмотрите на знак производной.

Если производная равна нулю в точке, но не меняет знак, экстремума там нет.

1. Находим производную

   (tg x)′ = 1/cos²x, (8x)′ = 8, а 2π + 3 — число, его производная равна нулю. Получаем y′ = 8/cos²x − 8.

2. Упрощаем производную

   По тождеству 1/cos²x = 1 + tg²x имеем y′ = 8·(1 + tg²x) − 8 = 8tg²x. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому y′ ≥ 0 на всём отрезке.

3. Разбираемся со стационарной точкой

   y′ = 0 только при tg x = 0, то есть при x = 0. Но слева и справа от нуля производная положительна — знак не меняется, поэтому x = 0 не точка экстремума. Функция возрастает на всём отрезке [−π/4; π/4], и наибольшее значение — в правом конце x = π/4.

4. Вычисляем y(π/4)

   tg(π/4) = 1, поэтому y(π/4) = 8·1 − 8·(π/4) + 2π + 3 = 8 − 2π + 2π + 3 = 11. Слагаемые с π взаимно уничтожились — так и задумано.

5. Типичная ошибка

   Найти стационарную точку x = 0 и сразу посчитать значение в ней: y(0) = 2π + 3 — это не наибольшее значение и даже не число, которое можно записать в ответ.

Ответ: 11