Условие
Определите наименьшее из значений, которые функция y = e^(2x − 4) − 2x + 1 принимает при всех действительных x.
Подсказка
Не забудьте множитель от производной показателя 2x − 4.
Равенство e^t = 1 выполняется только при t = 0.
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Находим производную
Производная e^(2x − 4) по правилу сложной функции равна e^(2x − 4)·2, производная −2x равна −2. Итак, y′ = 2e^(2x − 4) − 2 = 2·(e^(2x − 4) − 1).
- Решаем y′ = 0
e^(2x − 4) = 1 = e^0, значит 2x − 4 = 0 и x = 2.
- Определяем характер точки
Функция e^t возрастает, поэтому при x < 2 показатель 2x − 4 < 0 и e^(2x − 4) < 1, то есть y′ < 0; при x > 2 наоборот y′ > 0. Функция убывает, затем возрастает: x = 2 — точка минимума, и других точек экстремума нет, поэтому в ней достигается наименьшее значение на всей прямой.
- Вычисляем значение
y(2) = e^0 − 2·2 + 1 = 1 − 4 + 1 = −2. Типичная ошибка — ответить 2 (это точка минимума, а не значение); другая — забыть множитель 2 в производной e^(2x − 4).
Ответ: -2