Условие
Найдите наименьшее значение функции y = (x + 16)/√x на отрезке [1; 25].
Подсказка
Разделите числитель на √x почленно и запишите слагаемые как степени x.
Приведите производную к общему знаменателю — её знак определит числитель.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Записываем функцию через степени
Делим почленно: y = x/√x + 16/√x = x^(1/2) + 16·x^(−1/2).
- Находим производную
y′ = (1/2)·x^(−1/2) − 8·x^(−3/2) = 1/(2√x) − 8/(x√x) = (x − 16)/(2x√x).
- Находим ноль и знаки
Знаменатель 2x√x на отрезке положителен. Числитель равен нулю при x = 16 (эта точка лежит на [1; 25]), отрицателен при x < 16 и положителен при x > 16. Значит, x = 16 — точка минимума.
- Вычисляем и сверяем с концами
y(16) = (16 + 16)/4 = 8. Для контроля: y(1) = 17/1 = 17, y(25) = (25 + 16)/5 = 8,2. Типичная ошибка — ответить точкой минимума 16 вместо значения функции.
Ответ: 8