Условие
Найдите наименьшее значение функции y = √(x² − 6x + 13).
Подсказка
Выделите полный квадрат под корнем.
Корень — возрастающая функция: где подкоренное выражение наименьшее, там и корень наименьший.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Проверяем область определения
x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4 ≥ 4 > 0, поэтому функция определена при всех x.
- Находим производную
По правилу для сложной функции (√u)′ = u′/(2√u): y′ = (2x − 6)/(2√(x² − 6x + 13)) = (x − 3)/√(x² − 6x + 13).
- Исследуем знак производной
Знаменатель положителен, поэтому знак y′ совпадает со знаком x − 3: при x < 3 функция убывает, при x > 3 — возрастает. Значит, x = 3 — точка минимума, и наименьшее значение достигается в ней.
- Вычисляем значение
y(3) = √(9 − 18 + 13) = √4 = 2. Типичные ошибки — ответить точкой 3 вместо значения или забыть извлечь корень и записать 4.
Ответ: 2