Условие
Какое наименьшее значение принимает на отрезке [1; 2] функция y = e^(2x) − 6e^x + 3?
Подсказка
Вынесите в производной общий множитель 2e^x.
Точка, где y′ = 0, выражается через натуральный логарифм; оцените её с помощью e ≈ 2,72.
Чтобы найти значение функции, подставьте не x, а значение e^x в этой точке.
Показать ответ
-6
Пошаговое решение
- Находим производную
(e^(2x))′ = 2e^(2x) (множитель 2 — производная показателя 2x), (e^x)′ = e^x. Поэтому y′ = 2e^(2x) − 6e^x = 2e^x·(e^x − 3).
- Решаем уравнение y′ = 0
2e^x > 0 всегда, поэтому y′ = 0 только при e^x = 3, то есть x = ln 3. Это число не целое, но нам нужно лишь понять, лежит ли оно на отрезке.
- Проверяем, что ln 3 лежит на отрезке [1; 2]
e ≈ 2,72 < 3, значит ln 3 > ln e = 1. e² ≈ 7,39 > 3, значит ln 3 < ln e² = 2. Итак, 1 < ln 3 < 2. Левее ln 3 множитель e^x − 3 отрицателен (функция убывает), правее — положителен (возрастает), так что x = ln 3 — точка минимума на отрезке.
- Вычисляем значение, не находя x приближённо
В точке минимума e^x = 3, а e^(2x) = (e^x)² = 9. Поэтому y = 9 − 6·3 + 3 = 9 − 18 + 3 = −6. Ошибка — сравнить только значения на концах: y(1) = e² − 6e + 3 ≈ −5,92 кажется наименьшим, но в точке ln 3 функция ещё меньше.
Ответ: -6