ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Производную найдите по правилу частного и сократите дробь на x.

При расстановке знаков учтите не только ноль производной, но и точку, где функция не определена.

1. Находим область определения

   Знаменатель x² не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 0. Область определения — (−∞; 0) и (0; +∞).

2. Находим производную

   Слагаемое 2 при дифференцировании пропадает. По правилу частного (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v²: ((x − 3)/x²)′ = (1·x² − (x − 3)·2x)/x⁴ = (x² − 2x² + 6x)/x⁴ = (6x − x²)/x⁴. Сокращаем на x ≠ 0: y′ = (6 − x)/x³.

3. Расставляем знаки

   Отмечаем на прямой ноль производной x = 6 и выколотую точку x = 0. При x < 0: 6 − x > 0, x³ < 0, y′ < 0. При 0 < x < 6: y′ > 0. При x > 6: 6 − x < 0, x³ > 0, y′ < 0.

4. Делаем вывод

   В точке x = 6 знак меняется с «+» на «−» — это точка максимума. В точке x = 0 знак тоже меняется (с «−» на «+»), но функция там не определена, поэтому это не точка экстремума. Типичная ошибка — считать x = 0 точкой минимума или, записав знаменатель как x² вместо x³, решить, что при x < 0 производная положительна.

Ответ: 6