Условие
Найдите наибольшее значение функции y = (x² + 25)/x на отрезке [1; 10].
Подсказка
Разделите числитель на x почленно — производную будет найти проще.
Выясните, минимум или максимум в найденной точке, и не забудьте про концы отрезка.
Показать ответ
26
Пошаговое решение
- Упрощаем и дифференцируем
На отрезке x ≠ 0, поэтому y = x + 25/x. Тогда y′ = 1 − 25/x² = (x² − 25)/x².
- Находим нули производной на отрезке
x² = 25, x = 5 или x = −5. Отрезку [1; 10] принадлежит только x = 5.
- Определяем характер точки
При 1 ≤ x < 5 числитель x² − 25 < 0, y′ < 0 — функция убывает; при 5 < x ≤ 10 производная положительна — функция возрастает. Значит, x = 5 — точка минимума, и наибольшее значение надо искать на концах отрезка.
- Сравниваем значения на концах
y(1) = (1 + 25)/1 = 26; y(10) = (100 + 25)/10 = 12,5. Наибольшее — 26. Типичная ошибка — ответить значением в найденной точке y(5) = 50/5 = 10: это наименьшее значение, а не наибольшее.
Ответ: 26