ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′; после этого вынесите показательный множитель за скобки.

Показательная функция положительна, поэтому знак y′ определяет линейный множитель.

1. Находим производную по правилу произведения

   (uv)′ = u′v + uv′, где u = x − 8, v = e^(x − 7). Производная e^(x − 7) равна e^(x − 7) (производная показателя x − 7 равна 1). Получаем y′ = 1·e^(x − 7) + (x − 8)·e^(x − 7).

2. Выносим общий множитель

   y′ = e^(x − 7)·(1 + x − 8) = e^(x − 7)·(x − 7). Множитель e^(x − 7) всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком x − 7.

3. Определяем, где функция убывает и где возрастает

   y′ = 0 при x = 7, эта точка лежит на отрезке [6; 8]. При x < 7 производная отрицательна (функция убывает), при x > 7 положительна (возрастает). Значит, x = 7 — точка минимума, и наименьшее значение на отрезке достигается именно в ней.

4. Вычисляем значение в точке минимума

   y(7) = (7 − 8)·e^(7 − 7) = (−1)·e^0 = −1·1 = −1. Типичная ошибка — записать в ответ саму точку минимума 7, а спрашивают значение функции.

Ответ: -1