Условие
Найдите точку минимума функции y = x⁴ − 4x³ + 7.
Подсказка
Разложите производную на множители, вынеся x² за скобки.
Проверьте, меняет ли производная знак в каждом из своих нулей.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Находим производную и раскладываем её
y′ = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3). Нули производной: x = 0 и x = 3.
- Смотрим на множитель x²
Множитель 4x² неотрицателен и равен нулю только при x = 0. Поэтому знак y′ везде (кроме x = 0) совпадает со знаком x − 3.
- Расставляем знаки
y′ < 0 при x < 0, y′ < 0 при 0 < x < 3, y′ > 0 при x > 3. При переходе через 0 знак не меняется: функция убывает и слева, и справа от нуля, значит, x = 0 — не точка экстремума.
- Делаем вывод
В точке x = 3 знак меняется с «−» на «+» — это точка минимума (значение y(3) = 81 − 108 + 7 = −20). Типичная ошибка — считать экстремумом каждый ноль производной и ответить 0.
Ответ: 3