Условие
Найдите наибольшее значение многочлена y = x³ + 3x² + 9x − 7 на отрезке [−2; 1].
Подсказка
Проверьте, есть ли у производной нули: посчитайте дискриминант.
Если производная положительна на всём отрезке, то в каком его конце функция принимает наибольшее значение?
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим производную
y′ = 3x² + 6x + 9 = 3(x² + 2x + 3).
- Пробуем найти нули производной
Дискриминант x² + 2x + 3 равен 4 − 12 = −8 < 0, корней нет. Выделим квадрат: x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 ≥ 2, поэтому y′ > 0 при всех x.
- Делаем вывод о монотонности
Функция возрастает на всей прямой, а значит, и на отрезке [−2; 1]. Наибольшее значение — в правом конце отрезка.
- Вычисляем
y(1) = 1 + 3 + 9 − 7 = 6. Типичная ошибка — взять значение в левом конце: y(−2) = −8 + 12 − 18 − 7 = −21 — это наименьшее значение.
Ответ: 6