ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Начните с области определения: оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны.

Производная равна нулю, когда два корня равны между собой.

1. Находим область определения

   Нужно x + 1 ≥ 0 и 7 − x ≥ 0, то есть −1 ≤ x ≤ 7. Функция рассматривается на отрезке [−1; 7].

2. Находим производную

   (√(x + 1))′ = 1/(2√(x + 1)), (√(7 − x))′ = −1/(2√(7 − x)) (производная внутренней функции 7 − x равна −1). Значит, y′ = 1/(2√(x + 1)) − 1/(2√(7 − x)) при −1 < x < 7.

3. Находим ноль производной и знаки

   y′ = 0, когда √(x + 1) = √(7 − x), то есть x + 1 = 7 − x, x = 3. Если x < 3, то √(x + 1) < √(7 − x), первая дробь больше второй и y′ > 0; если x > 3, то наоборот, y′ < 0. Значит, x = 3 — точка максимума.

4. Вычисляем и сравниваем с концами

   y(3) = √4 + √4 = 2 + 2 = 4. На концах y(−1) = y(7) = √8, а √8 < √16 = 4. Типичная ошибка — записать в ответ точку максимума 3 вместо значения.

Ответ: 4