Условие
Найдите наименьшее значение функции y = 0,5x + 16/x² на отрезке [−4; −1].
Подсказка
Запишите 16/x² как 16·x^(−2) и продифференцируйте.
Проверьте, принадлежит ли найденный ноль производной данному отрезку.
Показать ответ
-1
Пошаговое решение
- Находим производную
16/x² = 16·x^(−2), его производная 16·(−2)·x^(−3) = −32/x³. Значит, y′ = 0,5 − 32/x³ = (x³ − 64)/(2x³).
- Ищем нули производной
x³ = 64, x = 4. Эта точка не принадлежит отрезку [−4; −1], поэтому на отрезке производная не обращается в ноль.
- Определяем знак производной на отрезке
При −4 ≤ x ≤ −1: x³ − 64 < 0 и 2x³ < 0, частное положительно. Значит, y′ > 0 — функция на отрезке возрастает, и наименьшее значение — в левом конце.
- Вычисляем
y(−4) = 0,5·(−4) + 16/16 = −2 + 1 = −1. Для контроля y(−1) = −0,5 + 16 = 15,5. Типичная ошибка — взять значение в точке x = 4: y(4) = 2 + 1 = 3, но эта точка лежит вне отрезка.
Ответ: -1