Условие
Найдите точку максимума функции y = (12/π)·sin(πx/6) − x + 5, принадлежащую промежутку (0; 6).
Подсказка
Производная sin(kx) равна k·cos(kx); посмотрите, что станет с множителем 12/π.
Аргумент πx/6 при x из (0; 6) пробегает промежуток (0; π) — какой угол там имеет косинус, равный одной второй?
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Дифференцируем сложную функцию
(sin(πx/6))′ = cos(πx/6)·(π/6). Множитель 12/π сокращается с π/6: (12/π)·(π/6) = 2. Получаем y′ = 2cos(πx/6) − 1.
- Решаем y′ = 0
cos(πx/6) = 1/2. При x из (0; 6) аргумент πx/6 лежит в (0; π), а там косинус равен 1/2 только при угле π/3.
- Находим x
πx/6 = π/3, откуда x = 6/3 = 2.
- Проверяем знаки
Слева от этой точки угол πx/6 меньше π/3, косинус больше 1/2, y′ > 0 — функция возрастает. Справа косинус меньше 1/2, y′ < 0 — функция убывает. Переход с «+» на «−» — это максимум.
- Типичная ошибка
Перепутать косинус с синусом и взять угол π/6: тогда x = 1, и это не корень производной.
Ответ: 2