Условие
Найдите наибольшее значение функции y = 2cos³x + 3cos²x − 12cos x + 1 на отрезке [0; π].
Подсказка
Обозначьте t = cos x и помните множитель (cos x)′ = −sin x.
Разложите квадратный трёхчлен относительно cos x на множители и определите знак каждого множителя.
Показать ответ
14
Пошаговое решение
- Находим производную сложной функции
(cos³x)′ = 3cos²x·(−sin x), (cos²x)′ = 2cos x·(−sin x), (cos x)′ = −sin x. Вынесем −sin x: y′ = −sin x·(6cos²x + 6cos x − 12) = −6sin x·(cos²x + cos x − 2).
- Раскладываем скобку
cos²x + cos x − 2 — квадратный трёхчлен относительно cos x с корнями 1 и −2: cos²x + cos x − 2 = (cos x − 1)·(cos x + 2). Итак, y′ = −6sin x·(cos x − 1)·(cos x + 2).
- Определяем знак производной
На [0; π]: sin x ≥ 0, cos x − 1 ≤ 0, cos x + 2 > 0. Произведение −6·(≥ 0)·(≤ 0)·(> 0) неотрицательно, значит y′ ≥ 0 и функция возрастает на отрезке. Наибольшее значение — в правом конце x = π.
- Вычисляем y(π)
cos π = −1: y(π) = 2·(−1) + 3·1 − 12·(−1) + 1 = −2 + 3 + 12 + 1 = 14.
- Типичная ошибка
Решив y′ = 0 и найдя cos x = 1, посчитать значение при x = 0: 2 + 3 − 12 + 1 = −6. Это наименьшее, а не наибольшее значение.
Ответ: 14