Условие
Найдите наименьшее значение функции y = 12x − 12ln(x + 11) + 4 на отрезке [−10,5; 0].
Подсказка
Производная ln(x + a) равна 1/(x + a).
Приведите производную к общему знаменателю и посмотрите на знак числителя.
В найденной точке аргумент логарифма равен 1.
Показать ответ
-116
Пошаговое решение
- Проверяем область определения
Логарифм требует x + 11 > 0, то есть x > −11. Весь отрезок [−10,5; 0] лежит правее −11, функция на нём определена.
- Находим производную
y′ = 12 − 12/(x + 11) = 12·(x + 11 − 1)/(x + 11) = 12·(x + 10)/(x + 11). На отрезке x + 11 > 0, поэтому знак y′ определяется множителем x + 10.
- Находим точку минимума
y′ = 0 при x = −10 — эта точка на отрезке. Левее неё y′ < 0 (функция убывает), правее y′ > 0 (возрастает), значит, при x = −10 функция принимает наименьшее значение на отрезке.
- Вычисляем значение
y(−10) = 12·(−10) − 12·ln(−10 + 11) + 4 = −120 − 12·ln 1 + 4 = −120 − 0 + 4 = −116. Именно ради ln 1 = 0 точка оказалась удобной. Ошибка — записать в ответ точку −10 вместо значения функции.
Ответ: -116