Условие
Найдите точку минимума функции y = (4x − 3)·sin x + 4cos x + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2).
Подсказка
Производная произведения: (u·v)′ = u′·v + u·v′.
После упрощения посмотрите, какой множитель производной меняет знак на этом промежутке.
Показать ответ
0,75
Пошаговое решение
- Дифференцируем произведение
((4x − 3)·sin x)′ = 4·sin x + (4x − 3)·cos x. Ещё (4cos x)′ = −4sin x, а (2)′ = 0.
- Упрощаем производную
y′ = 4sin x + (4x − 3)·cos x − 4sin x = (4x − 3)·cos x. Слагаемые 4sin x взаимно уничтожились — для этого коэффициент при cos x и подобран равным 4.
- Находим знаки
На (0; π/2) cos x > 0, поэтому знак y′ совпадает со знаком 4x − 3. Он равен нулю при x = 3/4 = 0,75; это число меньше π/2 ≈ 1,57, так что точка лежит в промежутке.
- Определяем тип точки
При x < 0,75 производная отрицательна (функция убывает), при x > 0,75 — положительна (возрастает). Переход с «−» на «+» означает минимум: x = 0,75.
- Типичная ошибка
Приравнять к нулю множитель cos x и взять x = π/2. Но π/2 не принадлежит промежутку (0; π/2), а на самом промежутке cos x > 0 и знак производной не меняет.
Ответ: 0,75