Условие
Найдите точку максимума функции y = x⁵ − 5x³ − 20x + 3.
Подсказка
Вынесите 5 за скобки: в скобках получится уравнение, квадратное относительно x².
Выясните, какой из множителей производной никогда не меняет знак.
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Находим производную
y′ = 5x⁴ − 15x² − 20 = 5(x⁴ − 3x² − 4).
- Решаем биквадратное уравнение
Пусть t = x² ≥ 0. Тогда t² − 3t − 4 = 0, корни t = 4 и t = −1. Значение t = −1 не подходит, так как x² не бывает отрицательным. Из x² = 4 получаем x = −2 и x = 2. Итак, y′ = 5(x² − 4)(x² + 1).
- Расставляем знаки
Множитель x² + 1 всегда положителен, поэтому знак y′ совпадает со знаком x² − 4: y′ > 0 при x < −2, y′ < 0 при −2 < x < 2, y′ > 0 при x > 2.
- Делаем вывод
В точке x = −2 производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума. Типичная ошибка — взять положительный корень 2: там знак меняется с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: -2