Условие
Найдите наибольшее значение функции y = log_(1/3)(x² − 4x + 13).
Подсказка
Основание логарифма меньше 1 — как это влияет на монотонность?
Выделите полный квадрат в аргументе логарифма.
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Проверяем область определения
x² − 4x + 13 = (x − 2)² + 9 ≥ 9 > 0 при всех x, поэтому функция определена на всей прямой.
- Смотрим на внешнюю функцию
log_(1/3)(t) — убывающая функция, потому что основание 1/3 меньше 1. Чем меньше аргумент t, тем больше значение логарифма. Значит, наибольшее y достигается при наименьшем t.
- Находим наименьшее значение аргумента
t = (x − 2)² + 9 принимает наименьшее значение 9 при x = 2. Производная это подтверждает: y′ = (2x − 4)/((x² − 4x + 13)·ln(1/3)); знаменатель отрицателен, поэтому y′ > 0 при x < 2 и y′ < 0 при x > 2 — это максимум.
- Вычисляем
y(2) = log_(1/3)(9) = −2, так как (1/3)^(−2) = 3² = 9. Типичная ошибка — забыть, что основание меньше 1, и потерять минус, записав log_(1/3)(9) = 2.
Ответ: -2