Условие
Найдите наименьшее значение функции y = cos 2x − 6cos x + 5 на отрезке [π/3; π].
Подсказка
Разложите sin 2x и вынесите sin x за скобки; оцените второй множитель.
После замены t = cos x проверьте, попадает ли вершина параболы в промежуток значений t.
Показать ответ
1,5
Пошаговое решение
- Находим производную
y′ = −2sin 2x + 6sin x = −4sin x·cos x + 6sin x = 2sin x·(3 − 2cos x).
- Исследуем знак производной
На [π/3; π] синус неотрицателен. Второй множитель 3 − 2cos x ≥ 3 − 2 = 1 > 0, так как cos x ≤ 1. Значит, y′ ≥ 0 (нулю производная равна только в конце x = π), и функция возрастает на отрезке.
- Находим наименьшее значение
У возрастающей функции наименьшее значение — в левом конце x = π/3. y(π/3) = cos(2π/3) − 6cos(π/3) + 5 = −1/2 − 3 + 5 = 1,5.
- Смотрим через замену t = cos x
cos 2x = 2cos²x − 1, поэтому y = 2t² − 6t + 4. Вершина параболы t = 6/4 = 3/2 лежит вне промежутка [−1; 1/2], где меняется cos x, поэтому минимум достигается на краю, при t = 1/2.
- Типичная ошибка
Взять значение в вершине параболы: 2·(9/4) − 9 + 4 = −0,5. Но cos x не может быть равен 3/2.
Ответ: 1,5