Условие
Среди значений функции y = 2^(x² − 6x + 11) при x из отрезка [4; 6] найдите наименьшее.
Подсказка
Показательная функция с основанием больше 1 возрастает: сравнивайте показатели.
Найдите вершину параболы в показателе и проверьте, попадает ли она на отрезок.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Замечаем, что функция сложная
y = 2^t, где t = x² − 6x + 11. Функция 2^t возрастает (основание 2 > 1), поэтому y наименьшее там, где наименьший показатель t. Задача сводится к квадратному трёхчлену.
- Находим вершину параболы t(x)
t′ = 2x − 6 = 0 при x = 3. Но точка 3 не принадлежит отрезку [4; 6].
- Смотрим, как ведёт себя t на отрезке
При x > 3 производная t′ = 2x − 6 положительна, значит на [4; 6] показатель t возрастает, а вместе с ним возрастает и y. Наименьшее значение — на левом конце, при x = 4.
- Вычисляем
t(4) = 16 − 24 + 11 = 3, y(4) = 2^3 = 8. Типичная ошибка — взять вершину x = 3 и получить 2^2 = 4: эта точка лежит вне отрезка.
Ответ: 8