Условие
Найдите точку максимума функции y = 3 + (x − 5)²(x + 1).
Подсказка
Производную произведения найдите по правилу (u·v)′, а затем вынесите общий множитель x − 5.
Точка максимума — та, где производная меняет знак с «+» на «−».
Показать ответ
1
Пошаговое решение
- Дифференцируем произведение
(u·v)′ = u′·v + u·v′, где u = (x − 5)², u′ = 2(x − 5), v = x + 1, v′ = 1. Получаем y′ = 2(x − 5)(x + 1) + (x − 5)².
- Выносим общий множитель
y′ = (x − 5)·(2(x + 1) + (x − 5)) = (x − 5)(2x + 2 + x − 5) = (x − 5)(3x − 3) = 3(x − 5)(x − 1). Нули производной: x = 1 и x = 5.
- Расставляем знаки производной
При x < 1 оба множителя отрицательны, y′ > 0; при 1 < x < 5 множители разных знаков, y′ < 0; при x > 5 производная снова положительна. Итак: возрастание, убывание, возрастание.
- Выбираем точку максимума
Знак меняется с «+» на «−» в точке x = 1 — это точка максимума (значение y(1) = 16·2 + 3 = 35). В точке x = 5, где (x − 5)² = 0, знак меняется с «−» на «+» — это минимум. Типичная ошибка — ответить 5 или записать значение 35 вместо точки.
Ответ: 1