Условие
Найдите наименьшее значение функции y = x^(3/2) − 3x + 1 на отрезке [1; 9].
Подсказка
Запишите x^(3/2) как x·√x или сразу продифференцируйте по правилу (x^n)′ = n·x^(n − 1).
Найдите, где производная обращается в ноль, и сравните значение там со значениями на концах отрезка.
Показать ответ
-3
Пошаговое решение
- Находим производную
По правилу (x^n)′ = n·x^(n − 1): (x^(3/2))′ = (3/2)·x^(1/2) = 1,5√x. Значит, y′ = 1,5√x − 3.
- Ищем нули производной
1,5√x − 3 = 0, откуда √x = 3 : 1,5 = 2 и x = 4. Точка 4 лежит на отрезке [1; 9].
- Определяем знаки
При 1 ≤ x < 4 имеем √x < 2 и y′ < 0 — функция убывает; при 4 < x ≤ 9 имеем √x > 2 и y′ > 0 — функция возрастает. Значит, x = 4 — точка минимума, и наименьшее значение на отрезке достигается в ней.
- Вычисляем значение и сверяем с концами
x^(3/2) = x·√x, поэтому y(4) = 4·2 − 12 + 1 = −3. Для контроля: y(1) = 1 − 3 + 1 = −1, y(9) = 9·3 − 27 + 1 = 1 — оба больше. Типичная ошибка — записать в ответ точку минимума 4 вместо значения функции в ней.
Ответ: -3