Условие
Найдите наибольшее значение функции y=3sin x+4cos x на отрезке [0; π/2].
Подсказка
Используйте оценку |3sin x+4cos x|≤√(3²+4²).
Проверьте достижимость равенства: на [0; π/2] существует угол с sin x=3/5, cos x=4/5.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Используйте оценку |3sin x+4cos x|≤√(3²+4²). Проверьте достижимость равенства: на [0; π/2] существует угол с sin x=3/5, cos x=4/5.
- Выполняем преобразование
По неравенству Коши 3sin x+4cos x≤√(25)·√(sin²x+cos²x)=5.
- Выполняем преобразование
Равенство достигается при sin x=3/5, cos x=4/5.
- Выполняем преобразование
Оба числа положительны и их квадраты дают 1, поэтому такой x лежит в [0; π/2].
- Выполняем преобразование
Значит, максимум равен 5.
Ответ: 5