ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Упростите cos(x−π/2) по формуле приведения.

Вынесите sin x за скобки, а квадрат синуса найдите из оставшегося множителя.

1. Применяем формулу приведения

   Косинус чётен, поэтому cos(x−π/2)=cos(π/2−x)=sin x. Уравнение принимает вид 4sin³x=3sin x.

2. Выносим общий множитель, не деля на sin x

   4sin³x−3sin x=0, sin x·(4sin²x−3)=0. Делить на sin x нельзя: значения с sin x=0 — тоже корни. Получаем sin x=0 или sin²x=3/4, то есть sin x=±√3/2.

3. Записываем серии и объединяем их

   sin x=0 ⇔ x=πk. sin x=±√3/2 ⇔ x=±π/3+πk. На единичной окружности это точки 0, π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3 — шесть точек через равные дуги π/3, поэтому все серии записываются одной формулой x=πk/3, k∈Z. (Тот же результат даёт формула тройного угла: 3sin x−4sin³x=sin 3x, и уравнение равносильно sin 3x=0.)

4. Отбираем корни двойным неравенством

   −5π/2≤πk/3≤−π ⇔ −15/2≤k≤−3, целые k=−7, −6, −5, −4, −3. Соответствующие корни: −7π/3, −2π, −5π/3, −4π/3, −π. Правый конец −π входит в отрезок и является корнем.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−4π/3: sin x=√3/2, 4sin³x=4·3√3/8=3√3/2, 3sin x=3√3/2 — верно. Типичная ошибка — разделить на sin x и потерять корни −2π и −π; другая — из sin²x=3/4 взять только sin x=√3/2 и потерять корень −7π/3, у которого sin x=−√3/2.

Ответ: а) x=πk/3, k∈Z; б) −7π/3; −2π; −5π/3; −4π/3; −π

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: применена формула приведения, sin x вынесен без деления, рассмотрены оба знака sin x=±√3/2, серии записаны (в том числе как x=πk/3), отобраны −7π/3; −2π; −5π/3; −4π/3; −π.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, серия x=πk/3 получена верно, но при решении двойного неравенства потерян конец −π (взято k≤−4).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.